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Description
Je présenterai dans cet exposé une classe de systèmes d'EDP où deux populations ont chacune un terme de dérive (drift) différent, mais elles interagissent par un terme de diffusion dépendant de leur somme : \partial_t \rho_i =\div (\rho_i \nabla (V_i+f(S)) où S=\rho_1+\rho_2. Ce système a une structure de flot de gradient dans l'espace (produit) de Wasserstein mais, malgré cette structure particulière, les résultats d'existence sont très difficile à obtenir, la difficulté se trouvant dans le terme avec le produit de chaque densité et du gradient de la somme, parce qu'on n'arrive qu'à obtenir des résultats de compacité faible sur ces termes (avec compacité forte de la somme, mais pas de son gradient).
L'exposé se concentrera sur les difficultés de ce système et sur les solutions récentes qui ont été trouvées, en particulier par Mészáros et Parker (Durham) et puis par Elbar et moi-même (Lyon) pour démontrer la compacité forte du ratio entre les deux densités, mais également sur la construction de solutions qui préservent la ségrégation initiale (travail en cours avec Schulz, Versailles), ce qui est aussi une manière d'obtenir la non-unicité des solutions faibles.