Surfaces abéliennes sur les corps finis ne contenant pas de courbes de petit genre

par Elena Berardini (CNRS; IMB, Université de Bordeaux)

jeudi 19 mars 2026, 16:00 → 18:00 Europe/Paris

207 (Bat 1R2 )

Dans [1], il est démontré que les codes géométriques construits à partir de surfaces abéliennes définies sur un corps fini satisfont une borne inférieure sur leur distance minimale, cette borne dépendant du plus petit genre d’une courbe contenue dans la surface. Plus précisément, plus ce genre est élevé, plus la borne inférieure est grande. Ce résultat motive la question suivante : comment caractériser les surfaces abéliennes ne contenant pas de courbes de petit genre ?
Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur les surfaces abéliennes ne contenant aucune courbe de genre ≤ 3. Nous commencerons par la caractérisation des classes d’isogénie des surfaces abéliennes sans courbes de genre ≤ 2, initiée dans [1] et complétée dans [2]. Nous montrerons ensuite que, pour les surfaces abéliennes simples, la présence d’une courbe de genre 3 est équivalente à l’existence d’une polarisation de degré 4. Nous caractériserons donc les classes d’isogénie de surfaces abéliennes ne contenant aucune courbe de genre ≤ 2 ni de polarisation de degré 4, en utilisant les outils développés dans [3, 4].
Pour finir, si le temps le permet, nous adopterons un point de vue dual en caractérisant les courbes de genre 3 qui apparaissent sur des surfaces abéliennes ne contenant aucune courbe de genre ≤ 2.

Il s'agit d'un travail en commun avec A. J. Giangreco-Maidana et S. Marseglia [2].

[1] Y. Aubry, E. Berardini, F. Herbaut, and M. Perret, Algebraic geometry codes over abelian surfaces containing no absolutely irreducible curves of low genus, Finite Fields and Their Applications, 70 (2021), p. 101791.
[2] E. Berardini, A. J. Giangreco-Maidana, S. Marseglia, Abelian surfaces over finite fields containing no curves of genus 3 or less, Journal of Pure and Applied Algebra (2026)
[3] E. W. Howe, Principally polarized ordinary abelian varieties over finite fields, Trans. Amer. Math. Soc., 347 (1995), pp. 2361--2401.
[4] E. W. Howe, Kernels of polarizations of abelian varieties over finite fields, J. Algebraic Geom., 5 (1996), pp.583--608.