Rémi Reboulet, "Dualité projective et (hyper)déterminants"

lundi 2 mars 2026, 15:30 → 16:00 Europe/Paris

Si le déterminant d'une matrice nous est à tous familier, la notion de déterminant d'une hypermatrice, c'est-à-dire d'un tableau de nombres "de dimension supérieure à 2", demeure aujourd'hui dans les pages oubliées de l'algèbre multilinéaire. Cayley lui-même s'y intéressa au milieu du XIXè siècle, définissant par exemple l'hyperdéterminant d'une matrice de format hypercubique n*n*n*...*n (la généralisation en dimension supérieure d'une matrice carrée), mais ses travaux sur ce sujet restèrent oubliés jusqu'aux années 1980 où Gelfand--Kapranov--Zelevinsky les exhumèrent, montrant que l'hyperdéterminant de Cayley est un cas particulier d'une construction, encore utilisée aujourd'hui en géométrie algébrique, liée à la dualité projective.

Dans cet exposé, je rappellerai quelques notions sur les espaces projectifs et parlerai de la dualité projective sus-mentionnée. Nous verrons que le déterminant d'une matrice est en fait un objet géométrique, un polynôme définissant une hypersurface projective. Ceci étant fait, il deviendra évident que la construction se généralise quasi-immédiatement aux hypermatrices.