COLLOQUIUM Michel Semenov-Tian-Shansky "Réseaux de Toda quantiques : un défi pour la théorie de représentations des groupes semisimples"

par Prof. Michel Semenov-Tian-Shansky (IMB, Université Bourgogne Europe)

jeudi 22 janv. 2026, 16:00 → 17:00 Europe/Paris

René Baire (IMB)

L'analyse harmonique sur les groupes de Lie  semi-simples non compacts nous amène à 
étudier les fonctions spéciales telles les fonctions sphériques, les fonctions de Whittaker 
et leurs généralisations. La théorie de Plancherel pour les espaces homogènes des 
groupes de Lie semi-simples  amène  aux problèmes avec le spectre continu, 
donc aux problèmes de diffusion quantique. Depuis les années 50, 
on sait que les matrices de diffusion dans ces cas sont  effectivement réduites aux 
produits des fonctions d'une seule variable. La fameuse formule de 
Gindykin-Karpelevitch exprime ces matrices de diffusion en termes de fonctions Gamma. 
Donc le comportement asymptotique des fonctions sphériques ou des fonctions de Whittaker 
est décrite par des formules simples et explicites.

Par contre, les fonctions sphériques ou les fonctions de Whittaker 
elles-mêmes restent assez compliquées. Le nouveau développement de la théorie issue
de la méthode quantique de diffusion  inverse suggère des nouvelles réalisations
des représentations des groupes semi-simples telles que non seulement le 
comportement asymptotique, mais les fonctions sphériques et les fonctions de Whittaker
elles-mêmes se réduisent aux produits des fonctions d'une seule variable. 

Dans ces nouvells réalisations l'algèbre de Lie et son algèbre enveloppante 
agissent par des opérateurs en differences finies (et pas par des opérateurs différentiels, 
comme d'habitude). Ce nouveau type de réalisations des représentations des groupes  de Lie  
est un défi majeur pour la théorie des représentations.