22 Septembre 2025: M. Morini & J. Machado

lundi 22 sept. 2025, 12:00 → 14:00 Europe/Paris

Salle Maryam Mirzakhani (201) (Institut Henri Poincaré)

10h-11h: Massimiliano Morini,  The isoperimetric inequality for the capillary energy outside convex sets

We study the isoperimetric problem for capillary hypersurfaces with a general contact angle outside arbitrary convex sets. We prove that the capillary energy of any surface supported on any such convex set is larger than that of a spherical cap enclosing  the same volume and with the same contact angle  at a  flat support, and we characterize the equality cases. This provides a complete solution to the isoperimetric problem for capillary surfaces outside convex sets at arbitrary contact angles, generalizing the well-known Choe–Ghomi–Ritoré inequality, which corresponds to the case of an orthogonal contact.

 

11h-12h: Joao Machado, Approximation unidimentionelle de mesures au sens de la distance de Wasserstein

Dans cet exposé, nous discuterons d'un problème variationnel récemment étudié en collaboration avec Antonin Chambolle et Vincent Duval, qui consiste à approcher une mesure de probabilité donnée par une mesure uniformément répartie sur un ensemble connexe de longueur finie. Cette approximation est réalisée en minimisant la distance de Wasserstein entre la mesure initiale et toutes ces mesures unidimensionnelles, avec une pénalisation de la longueur totale du support. Le problème est donc étroitement lié à la minimisation de la distance moyenne.

En raison des effets de concentration de masse, il semble difficile de démontrer l'existence d'un ensemble optimal par la méthode directe. Pour cette raison, nous introduisons une relaxation de la notion de longueur du support d'une mesure de probabilité, ce qui nous permet de démontrer l'existence d'une solution pour cette formulation relaxée. Heureusement, cette relaxation possède la propriété suivante : si ρ₀ ne charge pas les ensembles unidimensionnels, alors tout minimiseur de la relaxation est également un minimiseur du problème original.

Dans la suite, nous discuterons de certaines propriétés qualitatives de ce problème, telles que la régularité au sens d'Ahlfors et l'absence de boucles des minimiseurs.