Classes de Steinitz d’extensions galoisiennes non ramifiées

par Bouchaib Sodaigui

lundi 26 mai 2025, 14:30 → 15:30 Europe/Paris

XR203 (XLIM La Borie)

Résumé :

Soient $K$ un corps de nombres et  $Cl_{K}$ son groupe de classes. Soit $\Gamma$ un groupe fini. On désigne par  $ R_{nr}(K,\Gamma)$  le sous-ensemble de  $Cl_{K}$  formé par les classes réalisables comme classes de   Steinitz  d'extensions galoisiennes de $K$,  non ramifiées aux places finies de $K$ et  ayant un groupe de Galois isomorphe à   $\Gamma$. Si $\Gamma$ est abélien et  le nombre de classes de $K$ au sens restreint est premier avec l'ordre de $\Gamma$, alors $ R_{nr}(K,\Gamma)=\emptyset$. Dans le présent article, pour $\Gamma$ quelconque on considère l'ensemble $R'_{nr}(K,\Gamma): =\lbrace 1 \rbrace \cup R_{nr}(K,\Gamma)$.    On prouve que
  $R'_{nr}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ est un sous-groupe de    $Cl_{K,2}:=\lbrace c\in Cl_{K}\vert c^{2}=1\rbrace$  ; de plus il est égal à $Cl_{K,2}$ sous une certaine hypothèse sur $K$. En utilisant ce résultat, on montre que      $R'_{nr}(K,\Gamma)$ est un sous-groupe de  $R'_{nr}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ si $\Gamma$ est d'ordre impair, ou bien a un $2$-sous-groupe de Sylow non cyclique (par exemple $\Gamma$ un $2$-groupe non abélien,  $\Gamma=S_n$ ou $A_n$, avec $n\geq 4$), ou bien   a un $2$-sous-groupe de Sylow cyclique et normal (par exemple $\Gamma$ nilpotent d'ordre pair)

Abstract:

Let $K$ be a number field and $Cl_{K}$ its class group. Let $\Gamma$ be a finite group. We denote by $ R_{nr}(K,\Gamma)$  the subset of $Cl_{K}$  formed by the  classes which are realizable as Steinitz classes of   Galois extensions  of $K$,  unramified at the finite places of $K$ and having a Galois group isomorphic to $\Gamma$. If $\Gamma$ is abelian and the  narrow class number of $K$ is prime to the order of $\Gamma$, then  $R_{nr}(K,\Gamma)=\emptyset$. In the present article, for any $\Gamma$ we consider the set
 $R'_{nr}(K,\Gamma):=\lbrace 1 \rbrace \cup R_{nr}(K,\Gamma)$.
  We prove that  $R'_{nr}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$  is a subgroup of  $Cl_{K,2}:=\lbrace c\in Cl_{K}\vert c^{2}=1\rbrace$ ; furthermore, it is equal to $Cl_{K,2}$ under a certain assumption on $K$. Using this result   we show that $R'_{nr}(K,\Gamma)$ is a subgroup of $R'_{nr}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ if $\Gamma$ either  has odd order, or  has a noncyclic  $2$-Sylow subgroup (for instance $\Gamma$ a nonabelian $2$-group,  $\Gamma=S_n$ or $A_n$, with $n\geq 4$), or has a normal cyclic  $2$-Sylow subgroup
  (for instance  $\Gamma$ nilpotent having even order).