Résolution du problème d'approximation par dilatations de Erdős

par M. Youness Lamzouri (Institut Elie Cartan de Lorraine (IECL), Nancy)

lundi 26 mai 2025, 11:00 → 12:00 Europe/Paris

XR203 (XLIM La Borie)

Résumé : Soit $A$ un ensemble dénombrable de réels $>1$, et soit $ϵ>0$. Existe-il des éléments distincts $\alpha ,\beta$ dans $A$ et un entier naturel $n$ tel que $|n\alpha -\beta |<ϵ$ ? Motivé par ses travaux et ceux de Behrend dans les années 30 concernant les ensembles primitifs d’entiers, Erdős conjectura en 1948 que la réponse est oui si $A$ possède une densité logarithmique supérieure positive i.e. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{\log x}\sum _{\alpha \in A,\alpha \le x}\frac{1}{\alpha }>0$. Très peu de temps avant sa mort en 1996, il avait offert 500$ pour la résolution de ce problème de nature diophantienne.

Dans cet exposé, je présenterai un travail récent, en collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos et Jared Lichtman, où l’on démontre cette conjecture.