Un groupe aléatoire est défini par un ensemble fixe de générateurs et un ensemble aléatoire de relations, dont le nombre dépend d'un paramètre de densité d. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques de ces groupes lorsque la longueur des relations tend vers l'infini.
Les diagrammes de van Kampen sont un outil géométrique permettant de visualiser les relations comme des "disques" et d'étudier leurs interactions. Nous verrons que, dans un groupe aléatoire à d<1/2, ces diagrammes vérifient une inégalité isopérimétrique linéaire, ce qui permet d'établir une borne sur le nombre maximal de géodésiques parallèles lorsque d<1/6.
En application, nous montrerons que la longueur stable minimale d'un groupe aléatoire de densité <1/6 est exactement 1.