Algèbres sur les disques pas trop petits

par Damien Calaque (Montpellier)

vendredi 6 juin 2025, 11:30 → 12:30 Europe/Paris

112 (Bat. Braconnier)

Selon Costello-Gwilliam, une algèbre de préfactorisation est une structure modélisant le produit d'opérateurs des observables d'une théorie quantique des champs (QFT). Elle n'est définie que sur des ouverts disjoints car, dans une théorie quantique des champs euclidienne, le développement du produit d'opérateurs présente des singularités lorsque les positions coïncidentes. Pour une théorie topologique (TQFT), l'algèbre de préfactorisation des observables est localement constante ; un résultat de Lurie montre que les algèbres de préfactorisation localement constantes sur R^n sont équivalentes aux algèbres sur l'opérade E_n des petits disques en dimension n (Scheimbauer a prouvé que les E_n-algèbres définissent à leur tour canoniquement les TQFT par homologie de factorisation, bouclant ainsi la boucle). Selon le folklore, la renormalisation des TQFT est « facile ». Cela signifie qu'il devrait exister un moyen « assez peu coûteux » de récupérer les observables à petite échelle (hautes énergies) à partir de celles à grande échelle (faibles énergies). Dans cet exposé, j'expliquerai une incarnation mathématique de ce folklore, en montrant que les algèbres de préfactorisation localement constantes, définies uniquement sur des disques ouverts « pas trop petits » de R^n, sont équivalentes aux E_n-algèbres. J'aborderai enfin l'exemple de la quantification d'un champ libre discrétisé sur la droite réelle, et montrerai comment on retrouve (comme on peut s'y attendre) l'algèbre de Weyl. Ceci est un travail conjoint avec Victor Carmona.