[Saint-Etienne] $C_2$-algèbres, dualité, et algèbres de Lie d’homotopie

by Antoine Caradot

Thursday Feb 20, 2025, 10:45 AM → 11:45 AM Europe/Paris

Site Manufacture (saint-etienne)

Dans l'étude de la théorie des représentations d'une algèbre vertex $V$, une stratégie efficace consiste à examiner les propriétés de sa $C_2$-algèbre $R(V)$. Cette algèbre de Poisson reflète des propriétés intéressantes de l'algèbre vertex. À partir de là, nous explorerons deux directions de recherche.

La première est basée sur la dualité. La notion d’algèbre présente une notion duale dite de cogèbre. Nous expliquerons comment « dualiser » la définition d'une algèbre vertex graduée afin d'obtenir une cogèbre vertex graduée. Cela mène à la notion de $C_2$-cogèbre d'une cogèbre vertex, et nous montrons que la dualité algèbre / cogèbre vertex se traduit également en une dualité $C_2$-algèbre / $C_2$-cogèbre.

La seconde direction concerne la cohomologie de la $C_2$-algèbre. L’algèbre de Yoneda de $R(V)$, obtenue comme la cohomologie du dual d'une résolution projective du $R(V)$-module trivial, permet la construction d'une algèbre de Lie graduée restreinte qui reflète la lissité de la variété associée à V. Nous présenterons des résultats concernant la structure de cette algèbre de Lie et examinerons quelques exemples.

Ce travail est issu d’une collaboration avec Zongzhu Lin (Kansas State University).