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Description
Les spineurs de Killing généralisés, ou spineurs de Cauchy, apparaissent naturellement lorsque l’on considère la restriction d’un spineur parallèle sur une variété spin à une hypersurface orientée. Ils peuvent aussi être définis intrinsèquement via l’équation de Killing généralisée $\nabla_X \Psi = -\frac{A(X)}{2} \cdot \Psi$ (où $\Psi$ est le spineur, $X$ est un vecteur tangent quelconque, et $A$ est un endomorphisme symétrique).
La dimension 3 est particulière, car la présence d’une structure quaternionique et de l’opérateur de Hodge permet, dans le cas simplement connexe, de s’affranchir des spineurs et de réduire le problème de leur existence à une équation sur le tenseur de courbure. Dans le cas non simplement connexe, cette équation n’est qu’une condition nécessaire.
Dans cet exposé, j’expliquerai en détail le cas de la sphère $S^3$, sur lequel plusieurs exemples sont connus, mais où la classification des spineurs de Cauchy n’est pas close, et j’évoquerai en particulier le problème de Cauchy lié à « l’épaississement » de la 3-sphère supportant un tel spineur. J’exposerai également les résultats dans le cadre général des variétés de dimension 3, et les questions qui subsistent, notamment sur la structure de l’espace des spineurs de Cauchy.
