Singularités et traitement pour les problèmes élliptiques avec coefficients variables et sources de Dirac

par Prof. Faker Ben Belgacem (LMAC - UTC)

mardi 7 janv. 2025, 14:15 → 16:15 Europe/Paris

Il s'agit d'étudier la structure des potentiels engendrés par des sources de Dirac ponctuelles dans des milieux conductifs hybrides ou composites, et sont solutions de problèmes de diffusion.
La complication provient des faits suivants :
(i.)– la conductivité du milieu est variable
(ii.)– elle peut avoir des sauts
(iii.)– les sources de Dirac sont localisées aux interfaces des discontinuités
Ce modèle intervient dans de nombreux domaines. Le plus emblématique pour l'équipe est celui des sources d'épilepsie dans le cortex cérébral (travaux de A. El Badia).
Le potentiel créé manque de régularité (son énergie est infinie) et les formulations variationnelles standards ne s’appliquent plus. Le problème variationnel adapté est celui utilisé par G. Stampachia ([Séminaire J. Leray, 1957]); il s’écrit dans l’espace L2 et provient d’un argument de dualité. Qu’il admette une solution unique découle d’un résultat très fin de régularité elliptique établi par E. Di-Giorgi [Mem. Accad. Sci. Torino, 3, 1957]. La première étape (travail réalisé par F. Ben Belgacem et E. Bejaoui) est une décomposition clé où le comportement singulier du potentiel est explicitement détecté et exhibé. Cette contribution singulière est donnée par une formule mathématique tandis que la correction résiduelle est régulière et peut être simulée par des méthodes numériques variationnelles standards (écrites dans H1).
L’exposé s’achève par un bref aperçu des réalisations en cours (en collaboration avec D. Brancherie) pour les problème d'élasticité linéaire avec des paramètres de Lamé variables.