Représentations hilbertiennes des groupes hyperboliques

par Jean-Claude PICAUD (Université de Tours)

vendredi 13 déc. 2024, 13:30 → 14:30 Europe/Paris

1180 (Bât. E2) (Tours)

Les motivations pour étudier les représentations unitaires ou  hilbertiennes des groupes discrets sont nombreuses. En général, de tels sous-groupes ne sont pas  de type I, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de structure borélienne naturelle qui permet de paramétriser leur dual unitaire. Pour ces groupes, l'objectif est alors de construire des représentations, de comprendre si elles sont irréductibles ou non, et de comprendre les informations géométriques ou dynamiques qu'elles peuvent contenir. Les exemples qui inspirent les constructions dans notre cadre sont 1) $SL(2,\mathbb{R})$ (qui n'est pas discret et dont Bargmann a donné une description complète du dual unitaire à la fin des années 40) et 2) les groupes libres sur lesquels une analyse harmonique est possible même si  la description de leur dual unitaire est sans espoir. Nous présentons dans cet exposé une nouvelle famille de représentations hilbertiennes des groupes hyperboliques au sens de Gromov, analogue à la construction de la série complémentaire pour $SL(2,\mathbb{R})$. Ces représentations satisfont des relations asymptotiques de Schur qui font apparaître l'opérateur de Riesz, et ces dernières entraînent  l'irréductibilité des représentations en question. Toutes les notions seront définies et si le temps le permet, nous aborderons quelques problèmes autour de la propriété RD, fondamentale en théorie des représentations.