Non-existence de minimiseurs pour la deuxième valeur propre conforme du laplacien conforme

par Bruno Premoselli (Université libre de Bruxelles)

vendredi 22 nov. 2024, 13:30 → 14:30 Europe/Paris

1180 (Bât. E2) (Tours)

Soit $(M,g)$ une variété compacte sans bords de dimension $n\ge 3$. Le laplacien conforme de $g$ est l’opérateur $L_g={\mathrm{\Delta }}_g+c_n{S}_g$, où $S_g$ est la courbure scalaire de $(M,g)$ et $c_n$ est une constante numérique. Nous considérons dans cet exposé la deuxième valeur propre conforme de $(M,[g])$ qui est définie comme l’infimum, sur toutes les métriques $h$ parcourant la classe conforme $[g]$, de la deuxième valeur propre renormalisée  de $L_h$. En dimensions 11 et plus, et lorsque $(M,g)$ n’est pas localement conformément plate, Ammann et Humbert ont montré que la deuxième valeur propre conforme est atteinte. Dans cet exposé nous nous intéressons au cas des petites dimensions $3\le n\le 10$. Nous montrons qu’il existe un voisinage ouvert de la métrique ronde sur la sphère dans lequel la seconde valeur propre conforme n’est jamais atteinte. Ce résultat fournit le premier résultat de non-existence de valeurs propres conformes en dimensions plus grandes que trois, en dehors des cas des sphères rondes. Les résultats dans cet exposé ont été obtenus en collaboration avec J. Vétois (Mc Gill).