De la combinatoire sur les catégories résolvantes sur les arbres aimables.

par Benjamin Dequêne

vendredi 29 nov. 2024, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

E2 1180 (Tours)

Un carquois aimable est la donnée d'un graphe fini orienté connexe avec une certaine collection de chemins de longueur deux satisfaisant quelques conditions supplémentaires. En assignant à chaque sommet un espace vectoriel, et à chaque flèche une application linéaire telle que certaines compositions s'annulent, nous obtenons une représentation du carquois aimable. En munissant la collection de représentations d'une structure permettant d'avoir des morphismes entre elles, et en ajoutant la possibilité d'effectuer des sommes directes, nous obtenons la catégorie des représentations du carquois aimable.

 

Une sous-catégorie résolvante peut se décrire combinatoirement comme une collection de représentations indécomposables stable sous certaines conditions calculatoires. Un but dans ce contexte algébrique est de décrire toutes les sous-catégories résolvantes. Pour cela, en se restreignant à des arbres aimables (le graphe orienté est un arbre), et en utilisant un modèle géométrique permettant de voir les représentations indécomposables comme des courbes sur un disque, nous construisons un algorithme provenant de simplifications étapes par étapes d'un algorithme abstrait déjà connu qui nous permet de les calculer explicitement.

 

Dans cet exposé, après avoir fait un tour de toutes les notions importantes pour en cerner le contexte, j'expliquerai comment nous parvenons d'abord à décrire les sous-catégories résolvantes monogènes (engendrées par une seule représentation indécomposable). Puis je vous sensibiliserai à la conception de l'algorithme qui permet de construire toutes les sous-catégories résolvantes d'un arbre aimable. Tout cela avec une perspective combinatoire. Il s'agit de travaux en cours en collaboration avec Michael Schoonheere.