Ulam a conjecturé en 1961 que la plus longue sous-suite
croissante dans une permutation de $\lbrace 1, \dots, n\rbrace$ choisie
au hasard uniformément a une longueur de l'ordre de $\sqrt{n}$. On sait
aujourd'hui que lorsque $n$ tend vers l'infini, cette longueur fluctue
autour de $2\sqrt{n}$ selon la loi de Tracy--Widom, initialement
introduite pour décrire les fluctuations de valeurs propres de matrices
aléatoires. Que peut-on dire plus précisément de la, ou des, sous-suites
de longueur maximale ? Cette suite d'entiers aléatoires, correctement
renormalisée, converge vers une courbe fractale particulière. Fort
différente d'un mouvement Brownien, elle est définie comme la géodésique
associée à un champ de distances aléatoire appelé le paysage dirigé.
Ce champ aléatoire a été introduit récemment par Dauvergne, Ortmann et
Virág. Loin de concerner seulement les permutations aléatoires, le
paysage dirigé est la limite d'échelle universelle des modèles de la
classe de Kardar--Parisi--Zhang, incluant modèles de croissance
d'interface, percolation de premier ou dernier passage, systèmes de
particules en interaction, et bien d'autres modèles. La construction du
paysage dirigé s'appuie sur une étonnante propriété d'isométrie de la
correspondance de Robinson--Schensted--Knuth. Après avoir expliqué les
motivations physiques, nous verrons pourquoi et comment cette isométrie
intervient dans la construction, et nous discuterons de quelques-unes
des remarquables propriétés du paysage dirigé.
