Endomorphismes post-critiquement finis des espaces projectifs.

par Thomas Gauthier (Paris Saclay)

jeudi 13 mars 2025, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Salle de Séminaires (Orléans)

Un endomorphisme $f$ de l’espace projectif complexe ${\mathbb{P}}^k$ de dimension $k\ge 1$ est post-critiquement fini si son ensemble critique $C(f)$ est pré-périodique sous itération de l'application $f$, i.e. s’il existe des entiers $n>m\ge 00$ tels que  $f^{\circ n}(C(f))$ est contenu dans $f^{\circ m}(C(f))$. Lorsque $k\ge 2$, il a été conjecturé par Ingram, Ramadas et Silverman que de telles applications sont très rares. Plus précisément, qu’elles ne sont pas Zariski denses in l’espace de tous les endomorphismes d’un degré donné $d\ge 2$. Dans un travail en commun avec Johan Taflin et Gabriel Vigny, nous montrons cette conjecture. Nous donnons également une borne uniforme sur le nombre de points pré-périodiques de $f$ contenus dans l’ensemble critique d’un endomorphisme polynomial régulier de ${\mathbb{C}}^2$ général d’un degré donné.

Dans et exposé, je vais commencé ar une motivation: la distribution des points périodiques d’un polynôme. Je me tournerai ensuite vers une discussion autour des familles de fractions rationnelles de la sphère de Riemann. Si le temps le permet, je finirai par une esquisse de la stratégie de preuve de la non-Zariski densité des paramètres post-critiquement finis en dimension plus grande.