Journées mathématiques X-UPS

Apr 28, 2025, 10:00 AM → Apr 29, 2025, 4:00 PM Europe/Paris

Amphithéâtre Becquerel (École polytechnique)

                               Combinatoire et géométries exotiques

                                                 Journées mathématiques X-UPS 2025

Conférenciers

• Omid Amini, CNRS - École Polytechnique (Palaiseau)
• Arnaud de Mesmay, CNRS - Université Gustave Eiffel (Marne-la-Vallée)
• Matthieu Piquerez, Université Goethe (Francfort)

Organisateurs scientifiques

• Pascale Harinck
• Alain Plagne
• Claude Sabbah

Présentation du thème

Les mathématiciens explorent les propriétés des espaces topologiques en leur associant des invariants algébriques, qui constituent des outils puissants pour les analyser et les comprendre. Lorsque l’espace topologique est lisse et muni d’une métrique adaptée, l’analyse permet de représenter et de réinterpréter ces invariants sous une forme analytique.

En revanche, lorsque la structure géométrique se déforme et que l’espace devient singulier, des travaux de recherche récents ont révélé l’émergence de nouvelles géométries intimement liées à la combinatoire, qui permettent d’examiner le comportement de ces invariants à proximité des limites singulières. Cela a donné naissance à la découverte et au développement d'une géométrie riche et inattendue dans un contexte combinatoire.

L’objectif de ces journées est d’offrir un panorama des avancées récentes dans l’étude géométrique des objets combinatoires, tels que les matroïdes et les polytopes. Elles visent à souligner l’importance des idées issues de la géométrie complexe dans la résolution de conjectures importantes en combinatoire et à mettre en lumière leurs applications en algorithmique et informatique théorique.

Une partie des thèmes couverts se place autour des travaux de June Huh et sa médaille Fields. Il y aura également une présentation historique des liens entre la géométrie algébrique et la théorie des polytopes. Un accent particulier sera aussi mis sur les applications presqu'instantanées de ces résultats en informatique.

Présentation des journées

Les journées mathématiques X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de mathématiques Laurent Schwartz de l'École polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques.        
Elles se tiennent tous les ans au printemps. L'inscription est gratuite mais obligatoire.        
L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs pour l'actualité de la recherche en mathématiques et en informatique, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.        
Le stage comporte six ou sept conférences éventuellement accompagnées de démonstrations ou de travaux pratiques sur ordinateur. Nous souhaitons une participation active des stagiaires sous forme de discussion et questions aux conférenciers.

Les Journées mathématiques X-UPS bénéficient du soutien de la fondation mathématique Jacques Hadamard (FMJH)

Monday, April 28

10:00 AM → 11:00 AM Café d'accueil

11:00 AM → 12:00 PM Géométries combinatoires I

Dans la première partie du cours, nous donnerons quelques repères historiques sur les interactions entre la combinatoire et la géométrie complexe, en mettant particulièrement l’accent sur l’application des propriétés dites de positivité dans des contextes algébriques à la résolution de problèmes combinatoires. Cela inclut notamment la classification des f-vecteurs des polytopes, l’étude des phénomènes de log-concavité en combinatoire et l'exploration de la géométrie des matroïdes.

Dans la deuxième partie, nous expliquerons comment mettre en perspective ces liens à travers le développement d'une géométrie complexe pour les espaces exotiques (tropicaux, hybrides, etc.). Les interactions vont alors dans les deux sens, avec l'utilisation également de la combinatoire pour résoudre des problèmes issus de la géométrie complexe.

Speaker: Omid Amini

12:00 PM → 12:30 PM Discussion - Pause

12:30 PM → 2:00 PM Déjeuner

2:00 PM → 3:00 PM Algèbre des polytopes et volumes mixtes

Les volumes des polytopes et de leurs faces sont riches en propriétés : invariant, convexité du volume, polynomialité et log-concavité du volume mixte, caractérisation d'un polytope en fonction du volumes et de la direction de ses facettes, ou de ses arêtes, etc. Certaines de ces propriétés se comprennent mieux en introduisant un objet de toute beauté : l'algèbre des polytopes de McMullen. Pour pousser plus loin l'analyse, il faut étudier les propriétés dites kählériennes de cette algèbre. On peut les voir comme des propriétés de convexités algébriques. Cela nous permettra par exemple de retrouver des résultats importants comme les inégalités sur les volumes d'Alexandrov-Fenchel ou de Brunn-Minkowski. Ces propriétés kählériennes étaient initialement l'objet d'étude de la théorie de Hodge en géométrie complexe. Cette théorie est désormais appliquées dans de nombreuses autres branches des mathématiques, comme ici en combinatoire, mais aussi en algorithmique ou dans l'étude de géométries plus exotiques.

Speaker: Matthieu Piquerez

XUPS_2025_Piquerez_v1.pdf

3:00 PM → 3:30 PM Discussion - Pause

3:30 PM → 4:30 PM Applications en informatique théorique : algorithmique des matroides

L'objectif de ce cours est de faire découvrir un pendant algorithmique des résultats présentés dans les cours d'Omid Amini et Mathieu Piquerez en théorie des matroïdes, en nous concentrant sur des algorithmes récents d'Anari, Liu, Oveis Gharan et Vinzant permettant de compter et d'échantillonner de façon très efficace des bases de matroïdes. Nous commençons par un survol des enjeux de la théorie des matroïdes en informatique théorique, qui permettent de généraliser le cadre désormais très bien compris des graphes à des contextes plus larges. Nous introduisons ensuite les polynômes log-concaves (également connus sous le nom de polynômes Lorentziens dans les travaux de Branden et Huh), dont les définitions d'apparence simple cachent des propriétés très riches qui sont intimement liées aux sujets traités dans les deux autres cours. Ces propriétés en font un outil très efficace pour résoudre de multiples problèmes combinatoires et algorithmiques, et nous esquisserons comment elles sont exploitées dans les algorithmes sus-cités pour résoudre des problèmes d'informatique théorique ouverts depuis une trentaine d'années.

Speaker: Arnaud de Mesmay

XUPS_2025_de-Mesmay_v1.pdf

Tuesday, April 29

9:30 AM → 10:30 AM Géométries combinatoires II

Dans la première partie du cours, nous donnerons quelques repères historiques sur les interactions entre la combinatoire et la géométrie complexe, en mettant particulièrement l’accent sur l’application des propriétés dites de positivité dans des contextes algébriques à la résolution de problèmes combinatoires. Cela inclut notamment la classification des f-vecteurs des polytopes, l’étude des phénomènes de log-concavité en combinatoire et l'exploration de la géométrie des matroïdes.

Dans la deuxième partie, nous expliquerons comment mettre en perspective ces liens à travers le développement d'une géométrie complexe pour les espaces exotiques (tropicaux, hybrides, etc.). Les interactions vont alors dans les deux sens, avec l'utilisation également de la combinatoire pour résoudre des problèmes issus de la géométrie complexe.

Speaker: Omid Amini

10:30 AM → 11:00 AM Discussion - Pause

11:00 AM → 12:00 PM Revisiter les liens entre volumes et polytopes à l'aune de la théorie de Hodge combinatoire

Les volumes des polytopes et de leurs faces sont riches en propriétés : invariant, convexité du volume, polynomialité et log-concavité du volume mixte, caractérisation d'un polytope en fonction du volumes et de la direction de ses facettes, ou de ses arêtes, etc. Certaines de ces propriétés se comprennent mieux en introduisant un objet de toute beauté : l'algèbre des polytopes de McMullen. Pour pousser plus loin l'analyse, il faut étudier les propriétés dites kählériennes de cette algèbre. On peut les voir comme des propriétés de convexités algébriques. Cela nous permettra par exemple de retrouver des résultats importants comme les inégalités sur les volumes d'Alexandrov-Fenchel ou de Brunn-Minkowski. Ces propriétés kählériennes étaient initialement l'objet d'étude de la théorie de Hodge en géométrie complexe. Cette théorie est désormais appliquées dans de nombreuses autres branches des mathématiques, comme ici en combinatoire, mais aussi en algorithmique ou dans l'étude de géométries plus exotiques.

Speaker: Matthieu Piquerez

12:00 PM → 12:30 PM Discussion - Pause

12:30 PM → 2:00 PM Déjeuner

2:00 PM → 3:00 PM Des polynômes log-concaves aux algorithmes de comptage et d'échantillonnage

L'objectif de ce cours est de faire découvrir un pendant algorithmique des résultats présentés dans les cours d'Omid Amini et Mathieu Piquerez en théorie des matroïdes, en nous concentrant sur des algorithmes récents d'Anari, Liu, Oveis Gharan et Vinzant permettant de compter et d'échantillonner de façon très efficace des bases de matroïdes. Nous commençons par un survol des enjeux de la théorie des matroïdes en informatique théorique, qui permettent de généraliser le cadre désormais très bien compris des graphes à des contextes plus larges. Nous introduisons ensuite les polynômes log-concaves (également connus sous le nom de polynômes Lorentziens dans les travaux de Branden et Huh), dont les définitions d'apparence simple cachent des propriétés très riches qui sont intimement liées aux sujets traités dans les deux autres cours. Ces propriétés en font un outil très efficace pour résoudre de multiples problèmes combinatoires et algorithmiques, et nous esquisserons comment elles sont exploitées dans les algorithmes sus-cités pour résoudre des problèmes d'informatique théorique ouverts depuis une trentaine d'années.

Speaker: Arnaud de Mesmay

3:15 PM → 3:45 PM Présentation de LEAN (assistant de preuve)

En prévision d'une éventuelle introduction à LEAN pendant les Journées X-UPS 2026, Patrick Massot présentera rapidement l'assistant de preuve LEAN et expliquera les nécessités d'organisation pour ces Journées. Une discussion suivra sur la possibilité effective de réaliser cette thématique.

Speaker: Patrick Massot (Université Paris-Saclay)