Il est bien connu que le treillis de Young peut s'interpréter comme le diagramme de Bratelli des groupes symétriques, décrivant, par exemple, comment les représentations irréductibles se restreignent de S_n à S_{n-1}. En 1975, Stanley a découvert un treillis similaire appelé treillis de Young-Fibonacci qui a été interprété comme le diagramme de Bratelli d'une famille d'algèbres par Okada en 1994.
Dans cet exposé, nous utilisons un système de réécriture sur des configurations de boucles pour réaliser l'algèbre d'Okada et son monoïde
associé grâce à une version étiquetée des diagrammes d'arcs du monoïde de Jones et de l'algèbre de Tempeley-Lieb. Ceux-ci nous permettent de prouver en toute généralité que l'algèbre d'Okada est de dimension n! — la preuve d'Okada n'étant valide que dans le cas semi-simple. En particulier, nous interprétons la bijection naturelle entre les permutations et les diagrammes d'arcs comme une instance de la correspondance de Robinson-Schensted-Fomin associée au treillis de Young-Fibonacci. Ces constructions possèdent de nombreuses applications : par exemple, on peut prouver que le monoïde est apériodique et décrire ses relations de Green. En relevant, ces dernières à l'algèbre nous en construisant une base cellulaire.
Travail en collaboration avec Jeanne Scott.
