Orateur
Description
Considérons une mesure de probabilité $\mu$ sur un groupe libre $\mathbb{F}$ dont le support est fini et engendre le groupe en tant que semi-groupe. Pour $n$ un entier naturel et $x,y\in\mathbb{F}$, notons $p^{(n)}(x,y):=\mu^{\ast n}(x^{-1}y)$ la probabilité que la marche aléatoire associée à la mesure $\mu$, basée en $x$ atteigne le sommet $y$ en exactement $n$ pas. Alors la séquence de probabilités
$(p^{(n)}(x,y))_{n\in\mathbb{N}}$ admet un développement asymptotique au sens de Poincaré de la forme:
$$ p^{(n)}(x,y)\sim \frac{C}{n^{3/2} R^n} \left(1+\sum_{k\geq 1} \frac{c_k}{n^{k/2}}\right), $$
où $C>0$ et $(c_k){k\geq 1}$ sont des constantes dépendantes du couple $(x,y)$ et $R>1$ est l'inverse du rayon spectral de l'opérateur de Markov associé à la marche aléatoire. Cette estimation est une amélioration d'un résultat dû à Steven P.Lalley, paru en 1993 affirmant que la séquence $(p^{(n)}(x,y)){n\in\mathbb{N}}$ vérifie l’équivalent:
$$R^n n^{3/2} p^{(n)}(x,y)\sim C.$$
