Session régionale du séminaire des doctorant.e.s

Probabilité de retour d'une marche aléatoire sur un groupe libre

12 déc. 2024, 15:05

30m

Salle Johnson (IMT)

Orateur

Guillaume Chevallier

Description

Considérons une mesure de probabilité $\mu$ sur un groupe libre $\mathbb{F}$ dont le support est fini et engendre le groupe en tant que semi-groupe. Pour $n$ un entier naturel et $x,y\in \mathbb{F}$, notons $p^{(n)}(x,y):={\mu }^{\ast n}(x^{-1}y)$ la probabilité que la marche aléatoire associée à  la mesure $\mu$, basée en $x$ atteigne le sommet $y$ en exactement $n$ pas. Alors la séquence de probabilités
$(p^{(n)}(x,y){)}_{n\in \mathbb{N}}$ admet un développement asymptotique au sens de Poincaré de la forme:
$$p^{(n)}(x,y)\sim \frac{C}{n^{3/2}{R}^n}(1+\sum _{k\ge 1}\frac{c_k}{n^{k/2}}),$$ où $C>0$ et $(c_k){k\geq 1}$sontdesconstantesdépendantesducouple$(x,y)$et$R>1$est{l}^{\prime }inversedurayonspectralde{l}^{\prime }opérateurdeMarkovassociéàlamarchealéatoire.Cetteestimationestuneamélioration{d}^{\prime }unrésultatdûàStevenP.Lalley,paruen1993affirmantquelaséquence$(p^{(n)}(x,y)){n\in\mathbb{N}}$vérifie{l}^{\prime }équivalent:$$R^n{n}^{3/2}{p}^{(n)}(x,y)\sim C.$$