Algèbre, géométrie, topologie

Bornes fewnomiales et règle de Descartes en plusieurs variables

par Frédéric Bihan (Chambéry)

Europe/Paris
Description

La topologie d'une variété algébrique complexe (non singulière) est basiquement déterminée par les degrés de ses équations. Ce n'est pas le cas s'agissant des variétés algébriques réelles. Typiquement, si les équations comportent peu de monômes (de degrés aussi grands soient-ils) alors la topologie de la variété algébrique réelle sera pauvre (par exemple son nombre de composantes connexes sera petit). La théorie des Fewnomials initiée par Khovanskii donne des bornes explicites pour cette topologie en fonction des nombres de monômes et nombres de variables. Dans cet exposé j'essaierai de présenter les résultats principaux de cette théorie ainsi que les généralisations au cas multivarié de la règle de Descartes qui ont été obtenues récemment.