Dynamique sur la surface de Markov dans un cadre tropical

par Seung-uk Jang

vendredi 6 déc. 2024, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

207 (Bat 1R2)

Dans l'étude des variétés des caractères et leur dynamique algébrique, le première "jouet" est celui d'un tore avec une perforation, ou d'une sphère avec quatre perforation. L'étude de cette dynamique se réduit à celle de la surface de Markov, la surface algébrique affine définie par l'équation

$$X_1^2+X_2^2+X_3^3+X_1{X}_2{X}_3=A{X}_1+B{X}_2+C{X}_3+D,$$

où $A,B,C,D$ sont des paramètres.

La dynamique de la surface de Markov a été étudiée sous de nombreux aspects et points de vue. Ici, je propose d'ajouter un cas de corps non-archimédien, par exemple ${\mathbb{Q}}_p$ ou ses extensions. Ce cas sera examiné via "rough sight," ou un cadre tropical : comment les automorphismes agissent sur l'ensemble des valeurs des points (c'est-à-dire la tropicalisation de la variété).

Le résultat principal est : la tropicalisation de la surface de Markov contient une copie équivariante du plan hyperbolique (ou son bord). Un corollaire de ce résultat est l'existence de domaines de Fatou, mais sur le corps complexe $p$-adique ${\mathbb{C}}_p$. Un autre corollaire est formulé dans le contexte de la théorie des nombres.