Volcans d'isogénies : problème inverse

par Fabien Pazuki (Institut de mathématiques de Bordeaux)

jeudi 3 oct. 2024, 16:00 → 17:00 Europe/Paris

Salle Pellos (1R2)

Les isogénies entre courbes elliptiques sont des morphismes surjectifs très importants, notamment en raison des propriétés des courbes modulaires qui leur sont associées. Sur les corps finis elles forment des structures fascinantes. Soit $\ell$ un premier différent de la caractéristique du corps de base. Dans le cas supersingulier, les graphes de $\ell$-isogénies sont très connectés. Dans le cas ordinaire, les graphes de $\ell$-isogénies ont de nombreuses composantes connexes, et toutes ces composantes connexes ont une forme de... volcan ! Des $\ell$-volcans, dont on verra la définition précise. Nous étudions le problème inverse suivant : si on part d'un graphe $V$ abstrait satisfaisant les conditions nécessaires pour être un $\ell$-volcan, peut-on trouver un premier $p$ et des courbes elliptiques sur $\mathbb{F}_p$ tels que $V$ soit obtenu comme composante connexe de leur graphe de $\ell$-isogénies ? Nous montrons que la réponse est oui ! La preuve repose sur une combinaison d'arguments provenant de la théorie algébrique des nombres, de la résolution d'équations diophantiennes, et de l'application de résultats de Chebotarev. C'est un travail en commun avec Henry Bambury et Francesco Campagna.