En 1987, Deligne a obtenu une isométrie pour des familles de surfaces de Riemann compactes et des fibrés vectoriels holomorphes, reliant un objet de nature spectrale, le fibré déterminant muni de la métrique de Quillen, à des fibrés d'intersection. Cependant, il est important pour obtenir ce résultat que toutes les métriques soient lisses, ce qui est une hypothèse restrictive pour étudier des situations intéressantes du point de vue de la théorie des nombres.
Dans cet exposé, nous verrons, en considérant le cas des courbes modulaires munies de fibrés plats unitaires, une stratégie pour contourner ce type de difficultés, basée sur un article de Freixas i Montplet et von Pippich qui traite le cas du fibré en droites trivial. Le résultat, qui est une isométrie du même type que celle de Deligne, fournit alors un théorème de Riemann--Roch arithmétique qui permettra, dans le cas des courbes modulaires, de relier la première dérivée non nulle en 1 de la fonction zêta de Selberg à des normes hyperboliques et des nombres d'intersection arithmétique.
