La conjecture du cône de Morrison-Kawamata prédit le comportement du cône nef et du cône mobile d'une variété à fibré canonique trivial. Dans cet exposé, on s'intéresse à des familles de variétés à fibré canonique trivial et d'irrégularité zéro. On étudie le cône nef relatif et le cône mobile relatif d'une telle famille à l'aide des outils du Programme du Modèle Minimal. Comme application, on démontre la conjecture pour les familles dont une fibre très générale est une variété hyperkählérienne du type connu. Il s'agit d'un travail en commun avec A. Höring et G. Pacienza.
