La théorie des modèles des groupes algébriques simples en seize points
Résumé. Définissable = interprétable avec paramètres (= constructible).
Soient K un corps algébriquement clos et G = G(K) un groupe simple
infini définissable dans K .
1. K élimine les quanteurs et les imaginaires, et ne définit que des
structures pseudo-localement-finies. Problème de Macintyre : en
caractéristique p , K a-t-il des automorphismes non-définissables de
rang de Morley fini ?
2. Tout corps L infini définissable dans K est définissablement
isomorphe au corps de base K (demande un minimum de savoir en
Géométrie Algébrique).
3. (Weil, Van den Dries, Hrushovski ; Chevalley, Thomas) G est
constructiblement isomorphe à un groupe linéaire défini par des
équations à coefficients entiers.
4. (Zil'ber) Le groupe G est une structure aleph-un-catégorique.
Problèmes : théorie de G ? restrictions élémentaires de G ?
5. (Zil'ber) Une copie L du corps K est définissable dans G (il
suffit de savoir que les borels de G ne sont pas nilpotents).
6. (Hrushovski) G est définissablement dans G isomorphe à G(L) .
7. G est une structure constructible pleine, c'est-à-dire que toute
partie de G...G définissable au sens de K est définissable au sens
du groupe G .
8. (Borel-Tits) Tout isomorphisme σ entre G = G(K) et un groupe H =
H(L) définissable dans le corps algébriquement clos L se décompose en
l'isomorphisme entre G(K) et G(σ.K) induit par σ et un
isomorphisme définissable dans H ( σ.K est une copie de L ,
définissablement dans H isomorphe à L ).
9. (Borel-Tits) Soit L une copie du corps de base définissable dans
G ; tout automorphisme σ de G se décompose en un isomorphisme de G
sur G(L) définissable dans G , l'isomorphisme entre G(L) et
G(σ.L) induit par σ , et un isomorphisme entre G(σ.L) et G
définissable dans G . Autrement dit σ est définissable si et
seulement s'il induit un isomorphisme définissable entre les corps L
et σ.L .
10. On peut définir sans paramètres dans G une copie du corps de base.
11. Soit σ un automorphisme de G . En caractéristique nulle, si σ
est d'ordre fini, σ2 est constructible ; si (G,σ) est superstable,
σ est constructible.
12. Soit σ un automorphisme de G . En caractéristique p , si σ est
d'ordre fini, σ est constructible ; si σ appartient à un groupe
d'automorphismes A de G tel que (G,A) soit superstable, σ est
constructible.
13. En caractéristique p , il existe des structures constructibles
pleines dans lesquelles on ne peut définir sans paramètres que des
multicorps, c'est-à-dire des familles finies (L1, ... Ln) de copies du
corps de base, avec une famille Σ = (... σkl , ...) d'isomorphismes de
Lk sur Ll . Néanmoins toutes les structures constructibles pleines
satisfont les points 11 et 12.
14. Le point 10 en caractéristique nulle est à peu près évident ; en
caractéristique p il demande de la géométrie ; il faut savoir que G
est constructiblement isomorphe à un groupe algébrique linéaire (point
3), que ses borels sont conjugués, ainsi que ses sous-groupes vectoriels
maximaux.
15. (Altinel-Borovik-Cherlin, pour l'essentiel). En fait, le plus grand
groupe superstable d'automorphismes de G est formé des automorphismes
constructibles qui agissent identiquement sur le corps du point 10 ; il
est définissable, car les automorphismes intérieurs y sont d'indice fini.
16. En caractéristique nulle, je ne sais pas si les automorphismes
constructibles d'une structure constructible pleine forment un groupe
définissable. En caractéristique p , je ne sais si toute structure
constructible pleine a un groupe d'automorphismes superstable maximal.
