Les représentations de groupes de surfaces forment des espaces que l'on appelle "variétés de caractères". Ces espaces supportent une action du groupe modulaire de la surface sous-jacente, qui admet parfois des orbites finies. Cela reste néanmoins un phénomène rare. Dans le cas où les représentations sont à valeurs dans SL(2,C), Tykhyy a conjecturé une liste de toutes les orbites finies possibles. L'objectif de mon exposé est de présenter différents résultats en lien avec la conjecture de Tykhyy, ainsi qu'un résultat récent avec mon collaborateur Samuel Bronstein dans lequel nous terminons la preuve de la conjecture de Tykhyy.