Cette thèse de doctorat porte sur l'analyse mathématique et la résolution numérique d’équations modélisant les plasmas de
fusion nucléaire. Les plasmas d'un tokamak peuvent être décrits par des modèles s’appuyant sur des postulats de la physique.
Cependant, ces modèles seraient trop coûteux à simuler numériquement. Pour concevoir des machines permettant d’exploiter
la fusion nucléaire à des fins civiles, il est nécessaire d’utiliser des modèles peu coûteux d’un point de vue numérique. De tels
modèles peuvent être dérivés à l’aide de l’analyse asymptotique, à partir de descriptions cinétiques du plasma. Des arguments
d’adimensionnement permettent d'identifier des petits paramètres qui rendent le modèle de départ singulier. Faire tendre ces
paramètres vers 0 (formellement ou rigoureusement), permet d'obtenir des modèles limites moins coûteux qui doivent ensuite
être étudiés mathématiquement et numériquement.
Le premier chapitre de cette thèse s’intéresse à une équation cinétique modélisant le comportement des électrons dans le cœur
d'un tokamak. Les électrons y sont beaucoup plus légers que les ions. L'adimensionnement du modèle fait apparaître le ratio
de masse entre électrons et ions, et l'objectif de ce chapitre est d'analyser rigoureusement ce problème singulièrement
perturbé à l'aide de techniques d'hypocoercivité. Nous réalisons ensuite des simulations numériques qui confirment nos
résultats théoriques. Nous présentons enfin un schéma préservant l’asymptotique du petit ratio de masse entre électrons et
ions, ce qui permet de calculer efficacement la solution de ce problème.
Le deuxième chapitre de cette thèse s'intéresse à l'étude mathématique formelle d'une équation cinétique fortement
anisotrope. Les ions présents dans le plasma de la couche extérieure d'un tokamak (SOL - scrape-off layer) est soumis à une
faible collisionnalité dans la direction parallèle au champ magnétique, contrairement à la direction perpendiculaire. Nous
analysons alors une équation singulièrement perturbée du point de vue cinétique, et nous dérivons un modèle hybride
cinétique-fluide utilisé par les physiciens étudiant la SOL. Dériver ce modèle réduit à partir de l’échelle cinétique nous permet
de proposer des termes correctifs, enrichissant ainsi les propriétés physiques du modèle utilisé dans la littérature.
Le troisième chapitre porte sur l'analyse mathématique et numérique de certaines équations de Fokker-Planck présentes en
astrophysique et dans la physique du tokamak. Ces opérateurs de Fokker-Planck n’ont pas de trou spectral, et relaxent donc
lentement la distribution d'espèces chargées vers l'équilibre. Nous le montrons rigoureusement, puis proposons une méthode
numérique qui préserve la structure spectrale de ces opérateurs, ce qui permet de simuler avec précision les solutions de ces
équations, même sur de longues périodes.
