Dans cette thèse, nous étudions les théories des champs quantiques topologiques (TQFT) construites à partir d'une catégorie enrubannée. Nous sommes particulièrement intéressés par le cas non-semisimple. Notre angle d'attaque est de faire communiquer la topologie de basse dimension avec l'algèbre supérieure. Dans un sens, les constructions explicites basées sur des écheveaux guident l'algèbre supérieure vers les exemples qu'on sait intéressants. Dans l'autre, l'hypothèse du cobordisme prédit de nouvelles constructions.
Nous construisons des TQFTs de dimension 4 à partir de catégories non-semisimples et finies qui vérifient des conditions de non-dégénérescence. Cette contruction est un travail en collaboration avec Costantino, Geer et Patureau-Mirand. À l'inverse de la plupart des constructions non-semisimples précédentes, notre TQFT est bien définie sur tous les 4-cobordismes. Cette propriété était en fait prévisible par l'hypothèse du cobordisme. Notre construction est très explicite et nous étudions quelques exemples. Sous des hypothèses de non-dégénérescence supplémentaire, nous définissons des invariants de 3-variétés fermées décorées, qui sont calculés par notre TQFT sur une 4-variété bordante. Nous prouvons que ces invariants retrouvent les invariants de Lyubashenko renormalisés. Ils fournissent l'ingrédient de base des 3-TQFTs de DGGPR, qui sont des généralisations non-semisimples des TQFTs de Witten--Reshetikhin--Turaev.
Nous défendons l'idée que ce point de vue est très fructueux pour étudier ces théories non-semisimples à la WRT, et qu'il permet de les voir comme des TQFTs pleinement étendues. Quand la catégorie enrubannée V est modulaire, la (3+1)-TQFT que nous définissons plus haut est inversible. Il avait déjà été montré par Brochier, Jordan, Snyder et Safronov que la catégorie V est inversible vue comme un objet d'une 4-catégorie de catégories tressées. Nous nous attendons naturellement à ce que la TQFT pleinement étendue Z associée à V par l'hypothèse du cobordisme retrouve celle que nous avons décrite plus haut. De plus, on devrait pouvoir retrouver les TQFTs de DGGPR en appliquant les mêmes idées que plus haut. Plus précisément, nous nous attendons à ce qu'il existe une condition de bord pleinement étendue à Z qui, composée avec la théorie Z évaluée sur une variété bordante, retrouve DGGPR. Nous montrons que l'inclusion de l'unité dans V, dont on s'attend à ce qu'elle soit associée à cette condition de bord, est, en effet, suffisamment dualisable. Nous montrons en fait qu'elle est quasiment, mais pas entièrement, 3-dualisable. Nous décrivons une version dite non-compacte de l'hypothèse du cobordisme, et définissons la notion associée d'objet dualisable non-compact. Ces objets donnent sous l'hypothèse du cobordisme des TQFTs partiellement définies, que nous appelons non-compactes. Cette dualisabilité partielle explique précisément pourquoi les TQFTs de DGGPR ne sont pas définies sur tous les 3-cobordismes. Nous conjecturons que l'hypothèse du cobordisme, appliquée à l'inclusion de l'unité et à V, retrouve, par une procédure que nous détaillons, les TQFTs de DGGPR.
Sur les surfaces, la 4-TQFT Z est décrite par l'homologie de factorisation, qui est elle-même décrite par des catégories de modules sur les algèbres d'écheveaux internes de Brochier, Ben-Zvi et Jordan. Nous donnons une correspondance précise entre ces algèbres et les algèbres d'écheveaux à états de Lê, montrant en particulier qu'elles en sont une généralisation raisonnable. Notre preuve est explicite et montre directement que les algèbres d'écheveaux à états vérifient la propriété universelle qui définit les algèbres d'écheveaux internes. De plus, nous montrons des propriétés de recollement pour n'importe quelle catégorie enrubannée, un résultat que n'est pas connu pour d'autres généralisations des algèbres d'écheveaux à états.
