Orateur
Description
L’inégalité de von Neumann affirme que si H est un espace de Hilbert et T un opérateur linéaire et continu sur H tel que ∥T∥ ≤ 1, alors, pour tout polynôme p ∈ C[X], on a ∥p(T)∥ ≤ sup{|p(z)| : |z| ≤ 1}. En appliquant cette inégalité à une matrice 2 × 2 bien choisie, on retrouve le lemme de Schwarz-Pick, qui affirme que toute fonction holomorphe sur le disque unité est contractante pour la distance pseudo-hyperbolique. Lorsque l’on essaie de généraliser cela à des matrices de plus grande taille, on est confronté au problème suivant : comment estimer efficacement la norme (euclidienne) d’une matrice de taille n × n ? En effet, la formule utilisant le rayon spectral donne très vite des calculs trop compliqués pour être exploitables en pratique... Dans cet exposé, je donnerai une réponse à cette question pour les matrices de taille 3 × 3 et 4 × 4.
