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Soit π(x) le nombre de nombres premiers compris dans l’intervalle [1, x]. Nous savons depuis Euclide que π(x) tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ? La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: π(x) ∼ xlog x. La démonstration de Hadamard et de la Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdös et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique de la preuve du théorème des nombres premiers ainsi que les différentes idées de démonstrations, en particulier les preuves élémentaires.