Le théorème de Gehring Hayman stipule que la longueur euclidienne d'une géodésique pour la distance de Poincaré dans tout domaine planaire simplement connexe est bornée par un multiple constant de la borne inférieure des longueurs euclidiennes des chemins reliant ses extrémités (la constante est universelle). En plusieurs variables, pour des domaines raisonnablement lisses, nous étudions si la longueur euclidienne des géodésiques pour la métrique infinitésimale de Kobayashi-Royden peut être bornée par une constante fois la distance euclidienne entre les extrémités. La réponse est oui pour les domaines $C^{2,\alpha}$ strictement pseudoconvexes, non pour l'union de deux bidisques.
