Sur la capitulation de certains modules de torsion

par Prof. T. Nguyen Quang Do

lundi 4 avr. 2016, 11:00 → 12:00 Europe/Paris

X203 (Xlim)

Dans une extension finie 𝐿/𝐾 de corps de nombres, il est d’usage d’appeler morphisme de capitulation ou transfert l’homomorphisme naturel 𝐶𝑙𝐾 → 𝐶𝑙𝐿 entre les groupes de classes de K et L induit par l’extension des idéaux. Si en outre 𝐿/𝐾 est galoisienne, de groupe de Galois G, l’étude de la suite exacte de capitulation 1 →Ker i_(L/K)→〖Cl〗_K □(→┴i_(L/K) )〖Cl〗_L^G→Coker i_(L/K) →1 constitue l’un des thèmes de la théorie des genres, avec en point d’orgue la formule des classes ambiges exprimant le quotient ⎸𝐶𝑙𝐿𝐺⎹ / ⎸𝐶𝑙𝐾 ⎸. Ce type de problème peut se généraliser aux classes de rayons, en privilégiant par exemple le point de vue p-adique. Si L/K est une p-extension (galoisienne) S-ramifiée (où S est fini et contient les p-places), en notant〖 X〗_K^S le groupe de Galois de la pro-p-extension abélienne S-ramifiée maximale de K et T_K^S son module de Z_p-torsion, on peut étudier les morphismes de capitulation X_K^S→〖〖(X〗_L^S)〗^G ou T_K^S→〖〖(T〗_K^S)〗^G. Dans ce cas, la solution du problème est donnée par la conjecture de Leopoldt : si elle est vraie pour L, il est connu que T_K^S≅〖〖(T〗_L^S)〗^G et X_K^S≅〖〖(X〗_L^S)〗^G . On peut ensuite remplacer le module〖 T〗_K^S par le sous-module de Bertrandias-Payan 〖BP〗_(K )(à définir dans l’exposé), qui possède des propriétés plus fines, du point de vue des fonctions L_p comme du problème de plongement, et qui peut être considéré comme un analogue "dual tordu" de la p-partie du noyau sauvage de la K-théorie. On se propose d’étudier en détail la suite exacte de capitulation 1 → Ker j_(L/K) →〖BP〗_K □(→┴j_(L/K) )〖 BP〗_L^G →Coker j_(L/K) → 1 . ¤