\mu-bulles et variétés à courbure scalaire strictement positive en dimensions 4 et 5

par Laurent Bessières

samedi 23 mars 2024, 11:30 → 12:30 Europe/Paris

Amphithéâtre Hermite (Institut Henri Poincaré)

Un problème bien connu en géométrie est savoir quelles variétés 
admettent une métrique riemannienne de courbure scalaire strictement 
positive (PSC). De grandes avancées ont été obtenues dans les années 80 
par Schoen--Yau et Gromov--Lawson, avec des techniques de surfaces 
minimales et de spineurs. Parmi les résultats obtenus dans cette période 
: une 3-variété compacte admet une métrique PSC si et seulement si sa 
décomposition en somme connexe n'admet pas de facteur asphérique (i.e. 
dont les groupes d'homotopie \pi_i sont nuls pour i>1, ou de manière 
équivalente de revêtement universel contractible). Modulo la résolution 
de la conjecture de Géométrisation par Perelman, cela revient à dire que 
la variété est une somme connexe de quotients de S^3 et de S^2 \times 
S^1. En dimension supérieure, les tores T^n  n'admettent pas de métrique 
PSC, ni plus généralement les variétés compactes à courbure sectionnelle 
négative ou nulle. Ceci a amené à conjecturer qu'une n-variété compacte 
asphérique n'admettait pas de métrique PSC.