L'espace Sub(Γ) des sous-groupes d'un groupe dénombrable Γ hérite naturellement d'une topologie métrisable et compacte. On a alors une Γ-action par homéomorphismes donnée par la conjugaison.
Cette Γ-action est par exemple bien utile pour définir les sous-groupes aléatoires invariants (IRS) et les sous-groupes uniforméments récurrents (URS) de Γ. Il est également naturel de chercher à classifier les Γ-actions transitives (sur des ensembles) et les classes d'équivalence de telles actions correspondent aux orbites de notre action sur Sub(Γ).
Etant donné un groupe de Baumslag-Solitar
BS(m,n) := ⟨ b,t | t b^m = b^n t ⟩,
où m et n sont des entiers non nuls, nous étudions l'espace de ses sous-groupe d'un point de vue topologique et dynamique.
Premièrement, lorsque |m| ≥ 2 et |n| ≥ 2, nous déterminons le cœur parfait de l'espace (la plus grande partie fermée sans point isolé), qui dans bon nombre de cas est l'ensemble des sous-groupes d'indice infini. Lorsque |m| = 1 ou |n| = 1, Becker, Lubotzky et Thom avaient précédemment montré que le cœur parfait est vide.
Ensuite, toujours lorsque |m| ≥ 2 et |n| ≥ 2, nous découvrons une partition BS(m,n)-invariante naturelle de l'espace des sous-groupes, avec une composante fermée et une infinité de composantes ouvertes. Dans l'étude de cette partition, nous prouvons notamment que sur chacune des pièces l'action est topologiquement transitive et nous étudions l'adhérence des pièces ouvertes (individuellement et collectivement).
Il s'agit d'un travail commun avec Alessandro Carderi, Damien Gaboriau et François Le Maître.