Nous montrons qu'un domaine pseudoconvexe bidimensionnel de type fini avec une métrique de Kähler-Einstein Bergman est biholomorphe à la boule unité. Cela répond à une vieille question de Yau pour de tels domaines. La preuve utilise des asymptotiques de dérivées du noyau de Bergman le long de chemins tangents critiques approchant de la frontière, où l'ordre de tangence est égal au type du point frontière approché. Travail conjoint avec Ming Xiao.
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