La relativité générale est une théorie décrivant l'interaction
gravitationnelle. Dans cette théorie, les équations d'Einstein décrivent
comment un champ de matière induit un champ gravitationnel. Ces
équations sont des équations d'onde non-linéaires : leurs solutions
évoluent au cours du temps à partir de données initiales (il y a un
problème de Cauchy bien posé associé aux équations d'Einstein), elles
peuvent former des singularités en temps fini, etc. On connaît un
certain de nombre de solutions stationnaires de ces équations : les
solutions de Minkowski (l'équivalent de la solution nulle), les
solutions de Schwarzschild et Kerr (qui contiennent un trou noir massif,
respectivement sans et avec moment angulaire). L'une des questions les
plus naturelles est : ces solutions stationnaires sont-elles des
solutions stables des équations d'Einstein sous des petites
perturbations de leurs données initiales ? Dans cet exposé,
j'introduirai la relativité générale, les équations d'Einstein et leur
problème de Cauchy, ainsi que les questions de stabilité asymptotique
associées. Je détaillerai ensuite une preuve de stabilité asymptotique
pour une équation d'onde non-linéaire simplifiée. Pour finir,
j'évoquerai quelques aspects plus géométriques de la preuve de la
stabilité de la solution de Minkowski.
