Séminaire Algèbre ICJ

Triple structure cristalline pour les espaces de Fock

by Thomas Gerber (Aix-la-chapelle)

Europe/Paris
salle 112

salle 112

Description
Les espaces de Fock sont des objets qui jouent, via des phénomènes de catégorification, un rôle essentiel en théorie des représentations de certaines structures algébriques comme les groupes de réflexions (et leurs algèbres de Hecke), les groupes classiques finis (linéaires, unitaires, symplectiques, orthogonaux) ou encore les algèbres de Cherednik. Ils possèdent une triple structure de module : pour deux groupes quantiques de type A affine ainsi que pour une algèbre d'Heisenberg. De manière classique, chacun des deux groupes quantiques produit une structure de "cristal" sur les espaces de Fock, dont les interprétations sont particulièrement riches. Dans cet exposé, j'expliquerai comment, en jonglant avec les différentes combinatoires, on peut définir une notion de cristal pour l'algèbre d'Heisenberg qui entremêle les deux autres cristaux. Il se trouve que cette approche est compatible avec de récents travaux de Shan-Vasserot et de Losev, et permet ainsi d'obtenir de nouveaux résultats concernant les algèbres de Cherednik, que j'évoquerai.