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v3.2.9
L'équation de Hartree permet d'étudier la dynamique de systèmes quantiques avec un grand nombre de particules, dans un régime dit "de champ moyen" où chaque particule n'est soumise qu'à la force moyenne exercée par les autres. On peut la voir comme une EDP non-linéaire où l'inconnue n'est pas une fonction mais plutôt un opérateur, appelé matrice densité à un corps du système. Elle généralise en particulier l'équation de Schrödinger non-linéaire (cubique), dont la dynamique a été le sujet de nombreux travaux depuis les années 80. Dans cet exposé, je vais expliquer comment adapter les outils typiques des équations de Schrödinger non-linéaires basés sur les inégalités de Strichartz au cadre des matrices densités, sur l'exemple des petites données initiales. On montrera en particulier qu'elles engendrent des solutions globales en temps, qui se comportent comme des solutions libres (décrivant des particules n'interagissant pas) en temps grand. Ces travaux sont motivés par une question spécifique liée à l'équation de Hartree: la stabilité en temps grand d'états d'équilibre décrivant des gaz quantiques invariants par translation, équivalent quantique du phénomène d'amortissement Landau en théorie cinétique.