Une introduction aux flots de gradient, aux mouvements minimisants et au schéma JKO & Estimations BV et Sobolev dans le schéma JKO

par FILIPPO SANTAMBROGIO (Institut Camille Jordan, UCBL)

lundi 27 nov. 2023, 13:00 → 15:15 Europe/Paris

435 (UMPA, ENS de Lyon)

1) Une introduction aux flots de gradient, aux mouvements minimisants et au schéma JKO

 

Je raconterai brièvement ce qu'un flot de gradient dans R^n et comment le discrétiser en temps par un schéma d'Euler implicite consistant à résoudre une suite de problèmes d'optimisation. J'expliquerai ensuite comment traduire ça dans les espaces métriques et quel sens donner éventuellement à une solution de x'=-DF(x) dans un tel cadre. Surtout, je m'intéresse au cas où l'espace métrique est l'espace des mesures de probabilités sur un domaine et la distance la distance de Wasserstein induite par le transport  optimal. Dans ce cas, on caractérisera par une EDP le fait d'être une courbe limite de ce schéma discret (appelé schéma JKO, de Jordan, Kinderlehrer et Otto). Les EDP qu'on peut étudier de cette façon sont surtout des EDP de diffusion, dont l'exemple le plus simple est l'équation de la chaleur, mais les diffusions non-linéaires, les effets non-locaux d'agrégation et d'autres termes peuvent être inclus aussi.

 

2) Estimations BV et Sobolev dans le schéma JKO

 

Pour certaines équations paraboliques il est facile de prouver que certaines quantités, notamment des normes portant sur les solutions ou leurs dérivées, décroissent en temps.

Je montrerai comment une inégalité assez magique en transport optimal, connue sous le nom d'inégalité des cinq gradients, permet de retrouver ce comportement dans le schéma JKO, en regardant comment ces quantités évoluent d'une étape à l'autre.