Ces dernières décennies les méthodes de formes normales de Birkhoff ont permis de montrer de nombreux résultats concernant la stabilité en temps longs des petites solutions d'équations dispersives non-linéaires sur des domaines bornés. Cependant, hormis dans le cas des équations intégrables, ces résultats ne concernent que des solutions très régulières. Cette hypothèse de régularité semble primordiale d'un point de vue technique (afin de compenser les pertes dues aux petits diviseurs) mais, étonnement, les simulations numériques suggèrent fortement que la stabilité des petites solutions ne devrait pas dépendre de leur régularité. Je vous présenterai quelques résultats récents, obtenus en collaborations avec Benoît Grébert, Gabriel Rivière et Tristan Robert, et allant dans le sens de ces observations numériques.
