Séminaire de Géométrie, Groupes et Dynamique

Andrea Venturelli: "Sur une question de mécanique newtonienne posée par Mark Levi."

→ Europe/Paris
435 (UMPA)

435

UMPA
Description
En 2003 Mark Levi a posé le question suivante : étant donné un système dynamique
Newtonien \ddot{q}= −\nabla U (q), dans le plan R^2  , que peut-on dire sur U si on suppose qu’on peut
paramétrer chaque courbe de niveau de U de manière à la faire devenir une solution de
l’équation de Newton ? Un exemple classique de potentiel qui satisfait cette condition est
un potentiel à symétrie radiale. Une question naturelle est donc de savoir s’il y a d’autres
exemples. Nous verrons que la réponse dépend de la régularité de U et des hypothèses
qu’on demande sur l’ensemble de ses points critiques. En particulier, si on suppose que U
est analytique alors les potentiels à symétrie radiale sont les seules solutions. On arrive à
la même conclusion si on suppose que U est C^\infty et que l’ensemble des points critiques de
U est totalement discontinu par arcs. En revanche, en l'absence de ces hypothèses, on peut trouver
des exemples de tels potentiels n'ayant pas une symétrie radiale. Ce problème est lié de manière naturel
au (semi)flot de courbure inverse dans R^2. 
 
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Philippe Bolle et Marco Mazzucchelli.