La classification des sous-groupes algébriques des groupes des transformations birationnelles a été initiée par l’Ecole Italienne de la géométrie algébrique. En 1898, Enriques et Fano énoncent la liste des sous-groupes algébriques connexes maximaux de $\mathrm{Bir}(\mathbb{P}^3)$ sur $\mathbb{C}$. Presqu’un siècle après, Umemura fournit une preuve de leur classification dans une série de quatre articles, en utilisant des méthodes analytiques. Plus récemment, par des techniques purement algébriques, Blanc, Fanelli et Terpereau reconstituent la quasi-intégralité de cette preuve. En combinant leur stratégie et la classification des sous-groupes algébriques connexes maximaux des groupes des transformations birationnelles des surfaces réglées, on classifie les couples $(X,\mathrm{Aut}^\circ(X))$ tels que $X$ est un espace fibré en $\mathbb{P}^1$ sur $S$, où $S$ est une surface réglée non-rationnelle, et $\mathrm{Aut}^\circ(X)$ est un sous-groupe algébrique connexe maximal dans $\mathrm{Bir}(X/S)$.
