Les inégalités de Sobolev et de Sobolev logarithmique jouent un rôle
important dans de nombreux domaines des mathématiques. Elles sont bien comprises, ainsi que leurs fonctions extrémales.
Une question intéressante est de comprendre leur stabilité, c’est-à-dire,
jusqu’à quel point ces inégalités mesurent bien la distance d’une fonction
quelconque à la variété de leurs fonctions extrémales. Cette question, qu’on
appelle stabilité de l’inégalité, semble simple, mais s’avère compliquée
quand on cherche des réponses optimales et surtout de nature quantitative.
Récemment, avec J. Dolbeault, A. Figalli, R. Frank et M. Loss, nous avons pu
trouver une réponse optimale à la question en ce qui concerne l’inégalité de
Sobolev, et ceci avec des bornes calculables explicitement. Nous avons
également pu montrer que grâce au caractère optimal de ce résultat, une
estimation pour la constante de stabilité de l’inégalité de Sobolev logarithmique avec mesure Gaussienne, et dans la norme optimale, devient possible.
