Un groupe aléatoire est défini par une présentation avec des relations aléatoires. Dans le modèle à densité de Gromov, le nombre de relations est donné par un paramètre de densité d. Le Freiheitssatz de Magnus énonce que dans une présentation avec m générateurs et une seule relation dont le dernier générateur apparaît, les m-1 premiers générateurs engendrent librement un sous-groupe libre. Un phénomène similaire se produit dans les groupes aléatoires, où nous avons identifié des transitions de phases : pour tout entier r entre 1 et m-1, il existe une densité critique d(r) telle que, dans un groupe aléatoire de m générateurs à densité d, si d < d(r), les r premiers générateurs engendrent un sous-groupe libre; si d > d(r), les r premiers générateurs engendrent le groupe entier.
