Structures galoisiennes et formes trace

par Philippe Cassou-Noguès (Institut de mathématiques de Bordeaux)

jeudi 23 nov. 2023, 16:00 → 17:00 Europe/Paris

207 (Bat 1R2)

Soit $R$ l’anneau des entiers d’un corps de nombres $K$ et soit $G$ un groupe fini. On considère une $R$-algèbre de Hopf $A$, finie et plate, dont le dual de Cartier $A^D$ est un ordre de l’algèbre de groupes $K[G]$. Si $B$ est un espace homogène principal pour $A$, on sait que $B$ est un $A^D$ -module localement libre. On déduit de la forme trace de $B_K/K$ une forme quadratique entière $T{r}_B:B\to R$, non dégénérée et invariante par $G$. Le but de cet exposé est de comparer les $G$-espaces quadratiques $(B,T{r}_B)$ et $(A,T{r}_A)$. On montre que si l’ordre de $G$ est impair ces espaces sont localement isomorphes et l’on obtient des conditions pour qu’ils le soient globalement. Si l’on désigne par $X$ le $R$-schéma $Spec(B)$ et par $\mathcal{G}$ le schéma en groupes $Spec(A)$ on remarque que $X$ est un $\mathcal{G}$-torseur sur $R$. Ainsi les résultats que nous obtenons sur la structure quadratique de ces torseurs généralisent, pour un schéma en groupes non nécessairement constant et sur un anneau d’entiers, des résultats de Bayer, Lenstra et Serre obtenus pour des extensions galoisiennes de corps. Il s’agit d’un travail commun avec Martin Taylor.