Journée de rentrée 2024 du GT CalVa

Une inégalité de Poincaré avec trois contraintes

15 janv. 2024, 15:00

1h

Salle de séminaire 3L8 (Laboratoire de Mathématiques d'Orsay)

Orateur

Gisella Croce (Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne)

Description

Ce séminaire portera sur la minimisation de la fonctionnelle
$$u\in H^1(-\pi ,\pi )\to F(u)=\frac{{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }[u^{\prime }(\theta {)}^2-u(\theta {)}^2]d\theta }}{{\displaystyle {[{\int }_{-\pi }^{\pi }|u(\theta )|d\theta ]}^2}},$$ où $u(-\pi )=u(\pi )$ et ${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }u(\theta )d\theta =0={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }u(\theta )\cos (\theta )d\theta =0={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }u(\theta )\sin (\theta )d\theta =0}}}$. Ce problème est motivé par l'inégalité isopérimétrique quantitative avec l'asymétrie barycentrique, c'est-à-dire la minimisation de $\mathcal{G}(E)$, pour $$\mathcal{G}(E)=\frac{\delta (E)}{{\lambda }_G^2(E)},E\text{convexe}\subset {\mathbb{R}}^2.$$ Ici $\delta (E)$ est le déficit isopérimétrique d'un ensemble $E$, défini comme la différence entre le périmètre de $E$ et celui de la boule de même mesure que $E$, divisée par le périmètre de la boule. L'asymétrie ${\lambda }_G(E)$ est l'aire de la différence symétrique entre $E$ et la boule de même aire que $E$ de centre le barycentre de $E$, divisée par la mesure de $E$. Le calcul du minimum de la fonctionnelle $F$ contribue à l'étude de l'exclusion des suites minimisantes pour $\mathcal{G}$, convergentes vers la boule, et permet de montrer, par conséquent, l'existence d'un ensemble optimal pour la minimisation de $\mathcal{G}$.

Les travaux exposés sont en collaboration avec Chiara Bianchini et Antoine Henrot.