Orateur
Description
Ce séminaire portera sur la minimisation de la fonctionnelle
$$
u \in H^1(-\pi, \pi)\to
F(u)=\frac{ \displaystyle
\int_{-\pi}^{\pi}[u'(\theta)^2-u(\theta)^2]d\theta}{\displaystyle \left[\int_{-\pi}^{\pi} |u(\theta)| d\theta\right]^2}\,,
$$
où
$u(-\pi)=u(\pi)$ et
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} u(\theta) d\theta=0= \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} u(\theta) \cos(\theta) d\theta=0=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}u(\theta)\sin(\theta) d\theta=0$.
Ce problème est motivé par l'inégalité isopérimétrique quantitative avec l'asymétrie barycentrique, c'est-à-dire la minimisation de $\mathcal{G}(E)$, pour
$$
\mathcal{G}(E)=\frac{\delta(E)}{\lambda_G^2(E)}\,,\quad E\,\, \textnormal{convexe}\,\,\subset \mathbb{R}^2\,.
$$
Ici $\delta(E)$ est le déficit isopérimétrique d'un ensemble $E$, défini comme la différence entre le périmètre de $E$ et celui de la boule de même mesure que $E$, divisée par le périmètre de la boule.
L'asymétrie $\lambda_G(E)$ est l'aire de la différence symétrique entre $E$ et la boule de même aire que $E$ de centre le barycentre de $E$, divisée par la mesure de $E$.
Le calcul du minimum de la fonctionnelle $F$ contribue à l'étude de l'exclusion des suites minimisantes pour $\mathcal{G}$, convergentes vers la boule, et permet de montrer, par conséquent, l'existence d'un ensemble optimal pour la minimisation de $\mathcal{G}$.
Les travaux exposés sont en collaboration avec Chiara Bianchini et Antoine Henrot.
