Le discriminant des polynômes homogènes F de degré d en n+1 variables
est un polynôme en les coefficients de F qui s'annule si et seulement
si l'hypersurface projective V(F) est singulière. Avec Laurent Busé
nous introduisons un discriminant réduit : c'est un polynôme en les
coefficients des polynômes F tels que l'hypersurface V(F) possède un
point de multiplicité s en un point fixé de l'espace projectif, qui
s'annule si et seulement si V(F) possède des singularités
supplémentaires.
Je décrirai des propriétés d'homogénéité du discriminant réduit pour
différentes graduations sur l'anneau des coefficients des polynômes F,
obtenues en adaptant des résultats de Zariski (1937). Ceci permettra
d'établir une mystérieuse formule énoncée par Salmon en 1862.
J'expliquerai ensuite, suivant Salmon lui-même, comment appliquer
cette formule à des questions de géométrie projective énumérative, par
exemple au calcul du nombre de plans bitangents à une surface de P3
passant par un point fixé.
