On considère une version orientée acyclique du graphe d'Erdos-Rényi construit de la façon suivante : l'ensemble des sommets est {1,...,n}, et pour toute paire i < j, une arrête orientée de i vers j est présente avec probability p, indépendamment de toutes les autres paires. La longueur du plus long chemin dans un tel graphe croit linéairement en le nombre de sommets, à un taux donné par une fonction déterministe C de la densité p d’arêtes.
Foss et Konstantopoulos ont introduit un couplage entre ces graphes et un système de particules appelé "modèle infini d'urnes". Grâce à ce couplage, nous prouvons l'analyticité de la fonction C sur (0,1], ainsi que son comportement asymptotique étonnant en 0.
