L'exposant uniforme d'approximation simultanée associé à un nombre réel x et son carré mesure la qualité d'approximation de x et de x² par des nombres rationnels de même dénominateur. Le théorème de Dirichlet affirme que cet exposant est au moins égal à 1/2. Jusqu'au début des années 2000, la conjecture la plus répandue était qu'il n'existait pas de nombre irrationnel dont l'exposant serait strictement plus grand que cette valeur. Cependant, en 2004 Damien Roy construisit une famille de nombres transcendants – appelés nombres extrémaux - dont l'exposant est précisément égal à l'inverse du nombre d'or (soit 0.618...), réfutant ainsi cette conjecture. Dans cet exposé, nous nous attarderons sur l'historique entourant la question de l'approximation simultanée avant de présenter les idées derrière la construction de certains nombres extrémaux.
